 |
|
joungul.co.kr 에서
제공하는 좋은글 입니다.
바쁜 일상 속에 잠시 쉬어가는 공간이 되었으면 합니다. |
|
|
|  | 별의 등급에 관한 공식 유도 |  | |
| 별의 광도]
<별의 등급>
1등성은 6등성보다 약 100배 밝습니다.
5등성은 6등성보다 2.5배 밝고,
4등성은 5등성보다 2.5배 밝고,
3등성은 4등성보다 2.5배 밝고,
2등성은 3등성보다 2.5배 밝고,
1등성은 2등성보다 2.5배 밝습니다.
2.5×2.5×2.5×2.5×2.5 = (2.5)5 ≒ 100 이므로
1등성은 6등성보다 100배 밝은 것입니다.
그리고 1등급의 차이는 (100)1/5 가 됩니다.
<공식 유도>
m - M = 5 log(r) - 5
위의 공식은 별의 실시등급(m), 절대등급(M), 지구로부터의 거리(r)
관계를 나타낸 유명한 식입니다.
log는 [로그]라고 읽으며 고등학교에서 배웁니다.
그럼 이제 윗 공식을 유도해 보도록 하겠습니다.
별이름
등급
밝기
A
m1
L1
B
m2
L2
위의 표와 같이 두 개의 별이 있다고 가정합니다.
별B의 밝기(L2)는 별A의 (2.5)(m1-m2) 배입니다.
m1-m2는 등급차라고 하죠.
만약 m1이 m2보다 크다면 L2 > L1 으로 별B가 더 밝고
m1이 m2보다 작다면 L2 < L1 으로 별A가 더 밝습니다.
이 관계를 식으로 쓰면 아래와 같습니다.
L2 = (2.5)(m1-m2) L1
양변을 L1으로 나누면
L2/L1 = (2.5)(m1-m2)
양변에 로그를 취하면
log(L2/L1) = Log(2.5)(m1-m2) = (m1-m2) log(2.5)
m1 - m2 = 1/log(2.5) × log(L2/L1)
여기서,
log(2.5) = log(100)1/5 = 1/5 log(100) = 1/5 × 2 = 2/5
이므로
m1 - m2 = 1/log(2.5) × log(L2/L1)
= 1/(2/5) × log(L2/L1) = (5/2) × log(L2/L1)
= 2.5 × log(L2/L1)
여기서 중요한 식이 나왔습니다.
바로 등급차와 밝기와의 관계식이죠. ^^
m1 - m2 = 2.5 × log(L2/L1) ....(2)
밝기는 거리의 제곱에 반비례 합니다.
L(밝기) ∝ 1/d2
=> L = k × 1/d2 여기서 k는 비례상수입니다.
그리고, d는 관측자로부터의 거리입니다.
L1 = k × 1/d12, L2 = k × 1/d22 을 식(2)에 대입하면
m1 - m2 = 2.5 × log(d12/d22)
= 2.5 × log(d1/d2)2 = 5 × log(d1/d2)
즉, m1 - m2 = 5 × log(d1/d2) ....(3)
이것은 등급차와 거리와의 관계를 나타낸 식입니다.
여기서, m2 = M(절대등급)이라면,
d2 = 10pc(파섹)이죠. 왜냐면, 절대등급은 별이
지구로부터 10pc(파섹) 떨어진 곳이 있다고 가정하고
측정한 등급이니까요.
식(3)은 아래와 같이 바뀔 수 있습니다.
m1 - M = 5 × log(d1/10) = 5 × {log(d1) - log(10)}
= 5 × {log(d1) - 1} = 5 log(d1) - 5
m1은 m으로 두고, d1은 r로 둔다면,
드디어 우리가 증명하고자 했던 식의 모양이 됩니다.
즉,
m - M = 5 log(r) - 5
증명끝.
by http://starnspace.new21.org/html/preindex.htm |
|
|
|
|
